突变理论及其应用

时间:2023-08-01 03:10:05 生活 我要投稿

  突变理论及其应用,突变理论(Catastrophe Theory)是新近诞生的一门边缘学科,也是一门迅速发展而有重大理论与实际意义的学科,现在分享突变理论及其应用。

  突变理论及其应用1

  研究的现象

  某个因素的连续变化(往往还是光滑,理解为无限次可微)的变化可能导致系统性台的突然变化。

  突变现象的研究工具

  分叉理论——处理参数变化时某些定性性态的改变;

  突变理论——系统处理并成功地解决大量实际问题。

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  突变理论的数学基础

  常微分方程的解有三个要素(Poincare,19世纪):结构稳定性、动态稳定性和临界性。

  “粗”系统(Ahupohob和Nohtprtnh,1937)的提出确定了结构稳定性的概念。

  Morse引理(1930)对突变理论的数学基础是一个重要贡献。

  论文“曲面到平面的映射”(Whitney,1955)中指出:空间曲面到平面的投影只可能有两种奇异性,即折叠和尖点。这是突变理论分类表中最低阶的两种突变(Thom突变理论创始人)。

  50年代——引入横截性概念研究结构稳定性,并证明梯度系统的结构稳定系统是稠的。(Thom)

  60年代——对梯度系统即一类特殊的映射的奇点进行分类,并称之为“初等突变”,导致突变理论的建立。(Thom)

  70年代——突变理论的奠基性著作出版(Thom,1972)。但没有对分类定理进行严格的数学证明。

  以后——证明分类定理(Mather,Malgrange);应用和普及(Zeeman)。

  突变理论不是一个独立的数学分支。

  分叉理论与突变理论

  分叉理论的最一般形式:关于非线性方程平衡解的理论。平衡解:常解(即平衡点)、时间周期解和概周期解。分叉理论的研究对象:非线性微分方程支配的演化问题的平衡解的分叉;及第四种平衡解或定常运动形式——混沌。目前已经研究比较透彻的关系(如图1)。

  图1四种定常运动形式之间的转化

  突变理论研究多个参数变化时平衡点附近分叉情况的全面图像,特别是其中可能出现的突然变化;属于静态分叉,即平衡点之间相互转化问题。突变理论在某种意义上包含了静态分叉,而广义的分叉理论又在某种意义上包含了突变理论。

  突变理论的研究对象

  一般的,可以用定义在中的K个微分—积分方程来描述一个时间演化的系统,其中带有参数(见表1)。

  第一次简化,不考虑积分项,将得到一个非线性偏微分方程组。

  第二次简化,不考虑对位置的导数,即不考虑位置的`影响,得到一个非线性常微分方程组。

  上述这些情况都难以给出一般性的结论。

  第四次简化,得到一个动力学系统。已有较多研究。

  第五次简化,得到一个自治动力学系统。当参数很少时(),已经可以得到一些有用的结果。

  第六次简化,导致一个梯度系统,已有相当多的结果。

  第七次简化,考虑的是梯度系统的平衡点,即突变理论的研究对象:研究由解出的诸平衡点如何随控制参数的改变而改变。这种理论被称为初等突变理论。

  对非梯度系统中平衡点和其他现象进行的研究有不少发展,如广义分叉理论、奇异性理论、动力学系统理论和混沌理论。

  突变理论及其应用2

  20世纪60年代末70年代初,突变理论“热”轰动一时。菲尔兹奖获得者、法国数学家勒内托姆从1968年开始陆续发表文章,论述“突变理论”。1972年,托姆出版《构造稳定性和形态发生学》一书,一时风靡全球。

  托姆是一位卓有成就的拓扑学家。20世纪60年代以来,他致力于高维空间曲面的研究,用微分拓扑的方法分析曲面的奇点,并进行分类。

  他考察由不超过4个自变量的函数(一个或两个)决定的曲面,用局部微分同胚的方法考察奇点周围的性质,共得出7种基本类型。每一种类型表示一种不连续现象,当变量进入分支区域时,函数可以取n个值,相当于n叶折叠的曲面,这表明在分支区域内,函数值处于不稳定状态,即可从一个值跳到另一个值。这正是不连续现象的特征。

  托姆在《构造稳定性和形态发生学》这本书中,用微分拓扑中的结论去解释胚胎生长的突变、物理光学中的突变以及语言学上的突变等等。许多学科都涉及突然变化现象,这本书为这些突变现象提供了理论支撑,如胚胎学、人性学、医学、生态学、地质学、光学、激波、船舶稳定,甚至囚犯骚动、战争爆发、市场崩溃等等,都可以用突变理论来解释。

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  值得一提的是英国沃里克大学著名的数学教授齐曼在“突变热”中起了很大的推动作用。当他接触了托姆的突变理论后,便被吸引住了。他认为,微积分是一种数学模型,它能解释像地球绕太阳旋转那样连续变化的自然现象,并加以计算和预测。然而对于充满突变和跳跃的自然现象来说,这是太不够用了。

  水突然沸腾,火山爆发,房屋倒塌,蝗虫急速繁殖,病人忽然休克,由量变发展为质变,乃是司空见惯的现象,但迄今为止,还没有一种数学理论能够从数量上给出一个模型。现在托姆居然做到了。齐曼十分兴奋,他组成一个研究团体,细心钻研,扩展应用。

  齐曼教授称突变理论是微积分以后最重要的发现。

  现在,突变理论在许多领域得到了越来越广泛的应用。

  突变理论在在自然科学的应用是相当广泛的。在物理学研究了相变、分叉、混沌与突变的关系,提出了动态系统、非线性力学系统的突变模型,解释了物理过程的可重复性是结构稳定性的表现。

  在化学中,用蝴蝶突变描述氢氧化物的水溶液,用尖顶突变描述水的液、气、固的变化等。在生态学中研究了物群的消长与生灭过程,提出了根治蝗虫的模型与方法。在工程技术中,研究了弹性结构的稳定性,通过桥梁过载导致毁坏的'实际过程,提出最优结构设计……。

  突变理论在社会现象的一个用归纳为某种量的突变问题,人们施加控制因素影响社会状态是有一定条件的,只有在控制因素达到临界点之前,状态才是可以控制的。

  一旦发生根本性的质变,它就表现为控制因素所无法控制的突变过程。还可以用突变理论对社会进行高层次的有效控制,为此就需要研究事物状态与控制因素之间的相互关系,以及稳定区域、非稳定区域、临界曲线的分布特点,还要研究突变的方向与幅度。

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